Question

8．已知正項數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項a₁，a₃，a₅，…a_2k-1…構(gòu)成首項a₁=1等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成公比q=2的等比數(shù)列，且a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，a₄，a₅，a₇成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n}}$，T_n=b₁．b₂…b_n，求正整數(shù)k，使得對任意n∈N^*，均有T_k≥T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意：$\left\{\begin{array}{l}a_2^2={a_1}{a_3}\\ 2{a_5}={a_4}+{a_7}\end{array}\right.$，設(shè)a₁，a₃，a₅，…a_2k-1，…的公差為d，求出$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=2\\ d=3\end{array}\right.$，繼而得到通項公式，
（Ⅱ）求出b_n=$\frac{3n+4}{{2}^{n+1}}$，判斷出數(shù)列{b_n}單調(diào)性，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意：$\left\{\begin{array}{l}a_2^2={a_1}{a_3}\\ 2{a_5}={a_4}+{a_7}\end{array}\right.$，
設(shè)a₁，a₃，a₅，…a_2k-1，…的公差為d，
則a₃=1+d，a₅=1+2d，a₇=1+3d，a₄=2a₂，代入$\left\{\begin{array}{l}a_2^2=1（1+d）\\ 1+d=2{a_2}\end{array}\right.$，
又a₂＞0，
故解得$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=2\\ d=3\end{array}\right.$，
故數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{3n-1}{2}，n為奇數(shù)\\{2^{\frac{n}{2}}}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$，
（Ⅱ）${b_n}=\frac{3n+1}{2^n}$，顯然b_n＞0，
∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{\frac{3n+4}{{{2^{n+1}}}}}}{{\frac{3n+1}{2^n}}}=\frac{3n+4}{6n+2}＜1$，
∴{b_n}單調(diào)遞減，又${b_1}=2，{b_2}=\frac{7}{4}，{b_3}=\frac{10}{8}，{b_4}=\frac{13}{16}$，
∴b₁＞b₂＞b₃＞1＞b₄＞b₅＞…
∴k=3時，使得對任意n∈N^*，均有T_k≥T_n．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．