Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n-a_n-1=2（n≥2）
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式和它的前n項和S_n；
（Ⅱ）設b_n=（a_n+1）•2^a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項公式、前n項和即可得出；
（Ⅱ）b_n=n•4ⁿ．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）由題意，數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1，S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（II）b_n=（a_n+1）•2^a_n=n•4ⁿ，
∴T_n=1•4+2×4²+…+n•4ⁿ，
4T_n=1•4²+2×4³+…+n•4ⁿ⁺¹，
∴-3T_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{1-3n}{3}×{4}^{n+1}$-$\frac{4}{3}$，
∴${T_n}=\frac{{4+（3n-1）•{4^{n+1}}}}{9}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．