Question

13．如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且$FD=\frac{1}{2}EA=1$．
（Ⅰ）記線段BC的中點為K，在平面ABCD內過點K作一條直線與平面ECF平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．
（Ⅱ）求直線EB與平面ECF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取線段CD的中點Q，連結KQ，直線KQ即為所求；
（Ⅱ）以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系，由已知可得A，E，B，C，F的坐標，進一步求出平面ECF的法向量及$\overrightarrow{EB}$，設直線EB與平面ECF所成的角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EB}$＞|=|$\frac{-2}{4\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

解答 解：（Ⅰ）取線段CD的中點Q，連結KQ，直線KQ即為所求．
如圖所示：

（Ⅱ）以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖．
由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），
∴$\overrightarrow{EC}=（2，2，-2）$，$\overrightarrow{EB}=（2，0，-2）$，$\overrightarrow{EF}=（0，2，-1）$，

設平面ECF的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y-2z=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得平面ECF的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（1，1，2）$，
設直線EB與平面ECF所成的角為θ，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EB}$＞|=|$\frac{-2}{4\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．