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13.如圖,已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形,EA⊥底面ABCD,F(xiàn)D∥EA,且FD=12EA=1
(Ⅰ)記線段BC的中點為K,在平面ABCD內(nèi)過點K作一條直線與平面ECF平行,要求保留作圖痕跡,但不要求證明.
(Ⅱ)求直線EB與平面ECF所成角的正弦值.

分析 (Ⅰ)取線段CD的中點Q,連結(jié)KQ,直線KQ即為所求;
(Ⅱ)以點A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在的直線為y軸,建立空間直角坐標系,由已知可得A,E,B,C,F(xiàn)的坐標,進一步求出平面ECF的法向量及EB,設直線EB與平面ECF所成的角為θ,則sinθ=|cos<nEB>|=|243|=36

解答 解:(Ⅰ)取線段CD的中點Q,連結(jié)KQ,直線KQ即為所求.
如圖所示:

(Ⅱ)以點A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在的直線為y軸,建立空間直角坐標系,如圖.
由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(xiàn)(0,2,1),
EC=222,EB=202,EF=021

設平面ECF的法向量為n=xyz,
{nEC=0nEF=0,得{2x+2y2z=02yz=0,
取y=1,得平面ECF的一個法向量為n=112,
設直線EB與平面ECF所成的角為θ,
∴sinθ=|cos<nEB>|=|243|=36

點評 本題考查線面平行的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓練了利用空間向量求解二面角的平面角,是中檔題.

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第2組[25,35)b0.20
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第4組[45,55)120.60
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