Question

18．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點M（x，y）是直線l與圓面ρ≤4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）的公共點，求$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）．展開ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ-cosθ）．利用互化公式即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）由x²+y²=4x-4y配方可得：（x-2）²+（y+2）²=8．設(shè)M坐標(biāo)：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}rcosθ}\\{y=-2+2\sqrt{2}rsinθ}\end{array}\right.$，$（0≤r≤2\sqrt{2}）$．再利用和差公式及其單調(diào)性值域即可得出．

解答 解：（1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）．
∴ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ-cosθ）．
∴x²+y²=4x-4y．
（2）由x²+y²=4x-4y配方可得：（x-2）²+（y+2）²=8．
設(shè)M坐標(biāo)：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}rcosθ}\\{y=-2+2\sqrt{2}rsinθ}\end{array}\right.$，$（0≤r≤2\sqrt{2}）$．
∴$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{2}$$（2+2\sqrt{2}rcosθ）$+$\sqrt{2}$$（2+2\sqrt{2}rsinθ）$
=4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{2}$rsin$（θ+\frac{π}{4}）$∈$[0，8\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程回去直角坐標(biāo)方程、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．