Question

8．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均滿足f（x）=-f（2-x），且在[1，+∞）上遞增，g（x）=f（1+x），且2g（log₂a）-3g（1）≤g（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，2]．

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)f（x）的對(duì)稱性，再判斷g（x）的奇偶性和單調(diào)區(qū)間，化簡(jiǎn)不等式解得即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對(duì)?x∈R滿足f（x）=-f（2-x），∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱．
∵g（x）=f（1+x），f（x）在[1，+∞）上遞增，
∴g（x）為奇函數(shù)，并且在[0，+∞）是增函數(shù)．
∵2g（log₂a）-3g（1）≤g（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）=g（-log₂a）=-g（log₂a），
∴3g（log₂a）≤3g（1）
即log₂a≤1=log₂2，∴0＜a≤2，
故答案為：（0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意自變量的取值范圍，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．