Question

12．已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我們把使乘積a₁•a₂•a₃…•a_n為整數(shù)的數(shù)n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在區(qū)間（1，2004）內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和為（　　）

• A． 1024
• B． 2003
• C． 2026
• D． 2048

Answer 1

分析 根據(jù)換底公式log_ab=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$，把a(bǔ)_n=log_（n+1）（n+2）代入a₁•a₂…a_n并且化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為log₂（n+2），
由log₂（n+2）為整數(shù)，即n+2=2^m，m∈N^*，令m=1，2，3，…，10，可求得區(qū)間[1，2004]內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和．

解答 解：由換底公式：log_ab=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$．
∴a₁•a₂•a₃•…•a_n
=log₂3•log₃4…log_（n+1）（n+2）
=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$…$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$
=$\frac{lg（n+2）}{lg2}$=log₂（n+2），
可設(shè)log₂（n+2）=m為整數(shù)，
∴n+2=2^m，m∈N^*．
n分別可取2²-2，2³-2，2⁴-2，最大值2^m-2≤2004，m最大可取10，
故和為2²+2³+…+2¹⁰-18=2026．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題了對(duì)數(shù)的換底公式，考查了數(shù)列和的求法，把a(bǔ)₁•a₂…a_n化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．