分析 (1)設橢圓的焦半距為c,則由題設,得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$,求出橢圓C的幾何量,然后求解橢圓方程.
(2)存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O.理由如下:設點A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程$y=kx-\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$,利用韋達定理以及向量的數量積,轉化求解即可.
解答 (1)設橢圓的焦半距為c,則由題設,得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$,解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$,…(2分)
所以b2=a2-c2=4-3=1,故所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$.…..(4分)
(2)存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O.理由如下:
設點A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程$y=kx-\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$,
并整理,得$(1+4{k^2}){x^2}-8\sqrt{3}x+8=0$.(*)….(6分)
則${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}k}}{{1+4{k^2}}}$,${x_1}{x_2}=\frac{8}{{1+4{k^2}}}$.…(8分)
因為以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O,所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$,即x1x2+y1y2=0.
又${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}-\sqrt{3}k({x_1}+{x_2})+3$,于是$\frac{8}{{1+4{k^2}}}-\frac{{4{k^2}-3}}{{1+4{k^2}}}=0$,….(10分)
解得$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$,…..(11分)
經檢驗知:此時(*)式的△>0,符合題意.
所以當$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$時,以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O.…(12分)
點評 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關系的綜合應用,考查存在性問題的處理方法,考查計算能力.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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