Question

（1）當x∈[

π

6

，

7π

6

]時，求函數(shù)f（x）=-2cos²x-sinx+3的值域；
（2）求函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinx•cosx的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）利用同角三角函數(shù)間的關系與二次函數(shù)的配方法可求得y=2（sinx-

1

4

）2+

7

8

，x∈[

π

6

，

7π

6

]⇒-

1

2

≤sinx≤1，從而可求函數(shù)y=3-sinx-2cos²x的值域．
（2）令t=sinx+cosx∈[-

2

，

2

]，則函數(shù)即y=

1

2

（t+1）²-1，再利用二次函數(shù)的性質求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵y=3-sinx-2cos²x
=2sin²x-sinx+1
=2（sinx-

1

4

）2+

7

8

，
∵x∈[

π

6

，

7π

6

]時，
∴-

1

2

≤sinx≤1，
∴當sinx=

1

4

時，y_min=

7

8

；
當sinx=-

1

2

時，y_max=2；
∴函數(shù)y=3-sinx-2cos²x的值域為[

7

8

，2]．
（2）令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，則有 t²=1+2sinxcosx，
故函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
∴當t=-1時，函數(shù)取得最小值為-1，當t=

2

時，函數(shù)取得最大值為

2

+

1

2

，
故函數(shù)的值域為[-1，

2

+

1

2

]．

點評：本題主要考查求三角函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質，屬于基礎題．