Question

20．已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F₁的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點，若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=4：3：5，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)|AF₁|=t，|AB|=4x，根據(jù)雙曲線的定義算出t=2x，x=$\frac{2}{3}$a，Rt△ABF₂中算出cos∠BAF₂=$\frac{|AB|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{4}{5}$，可得cos∠F₂AF₁=-$\frac{4}{5}$，在△F₂AF₁中，利用余弦定理與雙曲線的離心率公式加以計算，可得答案．

解答 解：設(shè)|AF₁|=t，|AB|=4x，則|BF₂|=3x，|AF₂|=5x，
根據(jù)雙曲線的定義，得|AF₂|-|AF₁|=|BF₁|-|BF₂|=2a，
即5x-t=（4x+t）-3x=2a，解得t=2x，x=$\frac{2}{3}$a，
即|AF₁|=$\frac{4a}{3}$，|AF₂|=$\frac{10a}{3}$，
∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=4：3：5，得△ABF₂是以B為直角的Rt△，
∴cos∠BAF₂=$\frac{|AB|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{4}{5}$，
可得cos∠F₂AF₁=-$\frac{4}{5}$，
△F₂AF₁中，|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₂AF₁
=$\frac{16}{9}$a²+$\frac{100}{9}$a²-2×$\frac{4}{3}$a×$\frac{10}{3}$a×（-$\frac{4}{5}$）=20a²，
可得|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$a，即c=$\sqrt{5}$a，
因此，該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題著重考查了雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、利用余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．