Question

3．定義域?yàn)閧x|x∈N^*，1≤x≤12}的函數(shù)f（x）滿足|f（x+1）-f（x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比數(shù)列，若f（1）=1，f（12）=4，則滿足條件的不同函數(shù)的個(gè)數(shù)為176．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由|f（x+1）-f（x）|=1分析可得必有在f（x+1）-f（x）=1和f（x+1）-f（x）=-1中，必須且只能有1個(gè)成立，由等比數(shù)列的性質(zhì)求得f（4）=±2，進(jìn)而分2種情況討論，①、若f（4）=-2，分析可得在1≤x≤3中，f（x+1）-f（x）=-1都成立，在4≤x≤11中，有1個(gè)f（x+1）-f（x）=-1，7個(gè)f（x+1）-f（x）=1成立，②、若f（4）=2，在1≤x≤3中，有1個(gè)f（x+1）-f（x）=-1成立，2個(gè)f（x+1）-f（x）=1成立，在4≤x≤11中，有3個(gè)f（x+1）-f（x）=-1，5個(gè)f（x+1）-f（x）=1成立；由乘法原理計(jì)算可得每種情況的函數(shù)數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若|f（x+1）-f（x）|=1，則f（x+1）-f（x）=1和f（x+1）-f（x）=-1中，
必須且只能有1個(gè)成立，
若f（1）=1，f（12）=4，且f（1），f（4），f（12）成等比數(shù)列，
則f（4）=±2，
分2種情況討論：
①、若f（4）=-2，
在1≤x≤3中，f（x+1）-f（x）=-1都成立，
在4≤x≤11中，有1個(gè)f（x+1）-f（x）=-1，7個(gè)f（x+1）-f（x）=1成立，
則有C₈¹=8種情況，即有8個(gè)不同函數(shù)；
②、若f（4）=2，
在1≤x≤3中，有1個(gè)f（x+1）-f（x）=-1成立，2個(gè)f（x+1）-f（x）=1成立，有C₃¹=3種情況，
在4≤x≤11中，有3個(gè)f（x+1）-f（x）=-1，5個(gè)f（x+1）-f（x）=1成立，有C₈³=56種情況，
則有3×56=168種情況，即有168個(gè)不同函數(shù)；
則一共有8+168=176個(gè)滿足條件的不同函數(shù)；
故答案為：176．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的定義以及函數(shù)值的計(jì)算，關(guān)鍵是將函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為排列、組合問題．