Question

4．若對?x，y∈（0，+∞）不等式4xlna≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，則正實數(shù)a的最大值為（　　）

• A． $\sqrt{e}$
• B． $\frac{1}{2}$e
• C． e
• D． 2e

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，原不等式恒成立，即為不等式4xlna≤f（x）恒成立．運用基本不等式和參數(shù)分離可得2lna≤$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$，在x＞0時恒成立，令g（x）=$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$，通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值

解答 解：設(shè)f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，
不等式4xlna≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，即為不等式4xlna≤f（x）恒成立．
即有f（x）=e^x-2（e^y+e^-y）+2≥2+2e^x-2（當且僅當y=0時，取等號），
由題意可得4xlna≤2+2e^x-2，
即有2lna≤$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$在x＞0時恒成立，
令g（x）=$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x-2}（x-1）-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，即有（x-1）e^x-2=1，
令h（x）=（x-1）e^x-2，h′（x）=xe^x-2，
當x＞0時h（x）遞增，
由于h（2）=1，即有（x-1）e^x-2=1的根為2，
當x＞2時，g（x）遞增，0＜x＜2時，g（x）遞減，
即有x=2時，g（x）取得最小值，為1，
則有2lna≤1．
∴0＜a≤$\sqrt{e}$
當x=2，y=0時，a取得最大值$\sqrt{e}$．
故選：A．

點評 本題考查不等式恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．