Question

【題目】設(shè)a是實(shí)數(shù)，關(guān)于z的方程(z2－2z+5)(z2+2az+1)=0有4個(gè)互不相等的根，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)共圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

Answer 1

【答案】{a|－1<a<1}∪{－3}

【解析】

由z2－2z+5=0，得.

因?yàn)?/span>z2+2az+1=0有兩個(gè)不同的根，所以△=4(a2－1)≠0，故a≠±1.

若△=4(a2－1)<0，即－1<a<1時(shí)，.因?yàn)?/span>在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成等腰梯形或者矩形，此時(shí)四點(diǎn)共圓，所以，滿足條件.

若△=4(a2－1)>0，即|a|>1時(shí)，是實(shí)根，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，僅當(dāng)z1、z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為直徑的圓周上時(shí)，四點(diǎn)共圓，此圓方程為，

整理得，即x2+2ax+1+y2=0，將點(diǎn)(1，±2)代入得a=－3.

綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|－1<a<1}∪{－3}.

故答案為：{a|－1<a<1}∪{－3}.