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16.已知拋物線y=x2的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過y軸正半軸上一點(diǎn)N作直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且OAOB=2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)F關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)為C,則四邊形OCAB面積的最小值為( �。�
A.3B.3C.23D.32

分析 先設(shè)直線AB方程為y=kx+b(b>0),聯(lián)立y=x2求解利用OAOB=2,求出b,可得直線AB方程為y=kx+2,設(shè)d1、d2分別為F到OA、O到AB的距離,利用四邊形OCAB的面積S=S△OAC+S△OAB=12(OA•d1+AB•d2),可得S關(guān)于k的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)知識即可求解.

解答 解:不妨設(shè)位于第一象限的交點(diǎn)為A(x1,y1)、第二象限的交點(diǎn)為B(x2,y2),則x1>0,x2<0.
OA的直線方程為y=y1x1x=x1x,F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,14).
設(shè)直線AB方程為y=kx+b(b>0),聯(lián)立y=x2求解,有x2-kx-b=0
∴x1+x2=k,x1x2=-b,
∴y1y2=b2,
OAOB=2,
∴x1x2+y1y2=-b+b2=2
∵b>0,∴b=2
∴△=k2+8,x1=12(k+k2+8)①;線段AB=1+k2k2+8②.
設(shè)d1、d2分別為F到OA、O到AB的距離.
∵C是F關(guān)于OA的對稱點(diǎn),∴C到OA的距離=d1
∴四邊形OCAB的面積S=S△OAC+S△OAB=12(OA•d1+AB•d2).
根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,d1=141+x12③,d2=21+k2④.
又線段OA=x11+x12⑤,
∴將①~⑤代入S,有S=116(k+17k2+8).
由S對k求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)=0,可得1+17kk2+8=0,解得k=-16時,S最小,其值為3.
故選:A.

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì),考查面積的計(jì)算,考查導(dǎo)數(shù)知識,正確求出面積,利用導(dǎo)數(shù)求解是解題的關(guān)鍵.

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