Question

已知f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，求此時(shí)a的值；
（2）當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，求此時(shí)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a＞1，x＞0和0＜a＜1，x＞0函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號，進(jìn)而得到f（x）在x＞0上遞增．由于f（-x）=f（x），則函數(shù)為偶函數(shù)，則f（x）在x＜0上遞減．運(yùn)用單調(diào)性，即可得到（1），f（2）最大，解方程即可得到；
對于（2），比較f（-2）和f（1），可令它們最大，解出a，再檢驗(yàn)．

解答： 解：f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1）的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=a^xlna-a^-xlna=lna（a^x-a^-x），
當(dāng)a＞1，x＞0時(shí)，lna＞0，a^x＞a^-x，則有f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞0，lna＜0，a^x＜a^-x，則有f′（x）＞0，f（x）遞增；
則有f（x）在x＞0上遞增．
由于f（-x）=f（x），則函數(shù)為偶函數(shù)，
則f（x）在x＜0上遞減．
（1）則當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）遞增，f（2）最大，且為a²+a^-2=

5

2

，
解得，a=

2

或

2

2

；
（2）則當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，-2≤x≤0上f（x）遞減，0≤x≤1上遞增，
f（0）最小，比較f（-2）和f（1），由于f（-2）=a^-2+a²，f（1）=a+a^-1，
若f（-2）最大，且為

5

2

，則解得，a=

2

或

2

2

；
若f（1）最大，且為

5

2

，則解得，a=2或

1

2

．
檢驗(yàn)a=2或

1

2

，不成立，
則a的值為：

2

或

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的運(yùn)用，考查利用單調(diào)性求函數(shù)的最值．