Question

【題目】中國傳統(tǒng)文化中很多內容體現了數學的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現了相互轉化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美，給出定義：能夠將圓O的周長和面積同時平分的函數稱為這個圓的“優(yōu)美函數”，給出下列命題：
①對于任意一個圓O，其“優(yōu)美函數“有無數個”；
②函數 可以是某個圓的“優(yōu)美函數”；
③正弦函數y=sinx可以同時是無數個圓的“優(yōu)美函數”；
④函數y=f（x）是“優(yōu)美函數”的充要條件為函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形．
其中正確的命題是（ ）

A.①③
B.①③④
C.②③
D.①④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時平分，
故對于任意一個圓O，其“優(yōu)美函數”有無數個，故①正確；
函數 的大致圖象如圖1，故其不可能為圓的“優(yōu)美函數”；∴②不正確；
將圓的圓心放在正弦函數y=sinx的對稱中心上，
則正弦函數y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數”；
故有無數個圓成立，故③正確；
函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，則y=f（x）是“優(yōu)美函數”，
但函數y=f（x）是“優(yōu)美函數”時，圖象不一定是中心對稱圖形，如圖2，

故選：A．
過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時平分，故①正確；
作函數 的大致圖象，從而判斷②的正誤；
將圓的圓心放在正弦函數y=sinx的對稱中心上，則正弦函數y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數”；即可判斷③的正誤；
函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，則y=f（x）是“優(yōu)美函數”，但函數y=f（x）是“優(yōu)美函數”時，圖象不一定是中心對稱圖形，作圖舉反例即可．