Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₄=24，S₇=63．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若${b_n}={2^{a_n}}+{（{-1}）^n}•{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的求和公式及其通項(xiàng)公式即可得出．
（II）通過分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閧a_n}為等差數(shù)列，
所以$\left\{\begin{array}{l}{S_4}=4{a_1}+\frac{4×3}{2}d=24\\{S_7}=7{a_1}+\frac{7×6}{2}d=63\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2\end{array}\right.⇒{a_n}=2n+1$．
（Ⅱ）∵${b_n}={2^{a_n}}+{（{-1}）^n}•{a_n}={2^{2n+1}}+{（{-1}）^n}•（{2n+1}）=2×{4^n}+{（{-1}）^n}•（{2n+1}）$
∴${T_n}=2（{{4^1}+{4^2}+…+{4^n}}）+[{-3+5-7+9-…+{{（{-1}）}^n}（{2n+1}）}]=\frac{{8（{{4^n}-1}）}}{3}+{G_n}$，
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，${G_n}=2×\frac{n}{2}=n$，∴${T_n}=\frac{{8（{{4^n}-1}）}}{3}+n$
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時，${G_n}=2×\frac{n-1}{2}-（{2n+1}）=-n-2$，
∴${T_n}=\frac{{8（{{4^n}-1}）}}{3}-n-2$，∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{8（{{4^n}-1}）}}{3}+n（{n=2k，k∈{N^*}}）\\ \frac{{8（{{4^n}-1}）}}{3}-n-2（{n=2k-1，k∈{N^*}}）\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．