Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}成等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的三項(xiàng)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁，由條件求得首項(xiàng)，根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1+1=2（a_n+1），判斷出數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n+1，進(jìn)而求得a_n；
（3）設(shè)存在k，k+1，k+2∈N^*，使得a_k，a_k+1，a_k+2成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡整理，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，即可判斷存在性．

解答 解：（1）證明：因?yàn)镾_n=2a_n-n，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
因?yàn)镾_n=2a_n-n，
所以S_n+1=2a_n+1-（n+1），
則a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，
所以a_n+1=2a_n+1，
所以a_n+1+1=2（a_n+1）
數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，
所以a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．
（3）假設(shè)存在k，k+1，k+2∈N^*，使得a_k，a_k+1，a_k+2成等差數(shù)列，
則2a_k+1=a_k+a_k+2，即2（2^k+1-1）=2^k-1+2^k+2-1，
即2^k+2=2^k+2^k+2，即有2^k=0，這與2^k＞0矛盾，
故數(shù)列{a_n}中不存在連續(xù)三項(xiàng)可以構(gòu)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，探索數(shù)列{a_n}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，注意構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．