Question

已知函數(shù)f（x）=m²（lnx）²+（-3m+1）lnx在區(qū)間（e，e²）上是單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分類(lèi)討論，當(dāng)m=0時(shí)符合要求，當(dāng)m≠0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，得到極值點(diǎn)和e的關(guān)系，繼而得到關(guān)于m的一元二次不等式，解得即可．

解答： 解：當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=lnx為單調(diào)增函數(shù)，符合要求
當(dāng)m≠0時(shí)，
f′（x）=2m²lnx•

1

x

+

-3m+1

x

=

1

x

[2m²lnx-3m+1]，
令f′（x）=0，解得x₀=e

3m-1

2m2

當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞x₀，單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即x＜x₀，單調(diào)遞減，
∴x₀≤e
即：

3m-1

2m2

≤1，
即2m²-3m+1≥0，
∴（2m-1）（m-1）≥0，
解得m≥1，或m≤

1

2

，
綜上所述，m的取值范圍是（-∞，

1

2

]∪{0}∪[1，+∞）
故答案為（-∞，

1

2

]∪{0}∪[1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及一元二次不等式的解法，培養(yǎng)了學(xué)生分類(lèi)討論和轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題