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【題目】已知.

（1）當時，若函數存在與直線平行的切線，求實數的取值范圍；

（2）當時，，若的最小值是，求的最小值.

【答案】（1）；（2）的最小值為.

【解析】

（1）求出導函數，則有實數解，由此可得的范圍；

（2）考慮到的表達式，題意說明在上恒成立，且“＝”可取，這樣問題又可轉化為即恒成立，且可取.，即的最小值是0．，為求的零點，由得，再由導數求得的最小值是．由于題中要求的最小值，因此研究時的正負，從而得的最小值，可證得此最小值，且為0時只有一解，這樣得出結論．

（1）因為,因為函數存在與直線平行的切線，所以

在上有解,即在上有解，所以，得,

故所求實數的取值范圍是.

（2）由題意得：對任意恒成立，且可取，即恒成立，且可取.

令，即

，由得，令

.

當時，，

在上，；

在上，.所以.

令在上遞減，所以，故方程有唯一解即,

綜上，當滿足的最小值為，故的最小值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據（單位：小時）.

（I）應收集多少位男生樣本數據？

（II）根據這300個樣本數據，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區(qū)間為：，，，，，，試估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率；

（Ⅲ）在樣本數據中，有165位男生的每周平均體育運動時間超過4個小時請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯表，并判斷是否有％的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.

男生

女士

總計

每周平均體育運動時

間不超過4小時

每周平均體育運動時

間超過4小時

總計

附：

0.10

0.05

0.010

0.005

k

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，對任意a，恒有，且當時，有．

Ⅰ求；

Ⅱ求證：在R上為增函數；

Ⅲ若關于x的不等式對于任意恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列命題：（1）正方形的四條邊相等；（2）有兩個角是的三角形是等腰直角三角形；（3）正數的平方根不等于0；（4）至少有一個正整數是偶數；是全稱量詞命題的有________；是存在量詞命題的有________.（填序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）當函數在上的最大值為3時，求的值；

（2）在（1）的條件下，若對任意的，函數， 的圖像與直線有且僅有兩個不同的交點，試確定的值.并求函數在上的單調遞減區(qū)間.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），其中為直線的傾斜角.以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若點的極坐標為，直線經過點且與曲線相交于兩點，求兩點間的距離的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f(x)滿足，當x∈[0,1]時，f(x)=x,若在區(qū)間（-1,1]上方程f(x)-mx-m=0有兩個不同的實根，則實數m的取值范圍是（）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某IT從業(yè)者繪制了他在26歲～35歲(2009年～2018年)之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點圖：

（1）由散點圖知，可用回歸模型擬合與的關系，試根據附注提供的有關數據建立關于的回歸方程

（2）若把月收入不低于2萬元稱為“高收入者”.

試利用（1）的結果，估計他36歲時能否稱為“高收入者”？能否有95%的把握認為年齡與收入有關系？

附注：①.參考數據：，，,，，,，其中，取，

②.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為:，

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

③.．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形， 在上，且面.

（1）求證: 是的中點；

（2）在上是否存在點，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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