Question

（2013•佛山一模）對于函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]，同時滿足下列條件：
①f（x）在[m，n]內是單調的；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．
則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．若函數(shù)f（x）=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)存在“和諧區(qū)間”，則a的取值范圍是（　�。�

• A．（0，1）
• B．（0，2）
• C．（

  1

  2

  ，

  5

  2

  ）
• D．（1，3）

Answer 1

分析：易得函數(shù)在區(qū)間[m，n]是單調的，由f（m）=m，f（n）=n可得故m、n是方程ax²-（a+1）x+a=0的兩個同號的實數(shù)根，由△=（a+1）²-4a²＞0，解不等式即可．

解答：解：由題意可得函數(shù)f（x）=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)在區(qū)間[m，n]是單調的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），則f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程

a+1

a

-

1

x

=x的兩個同號的實數(shù)根，
即方程ax²-（a+1）x+a=0有兩個同號的實數(shù)根，注意到mn=

a

a

=1＞0，
故只需△=（a+1）²-4a²＞0，解得-

1

3

＜a＜1，
結合a＞0，可得0＜a＜1
故選A

點評：本題考查函數(shù)單調性的判斷和一元二次方程的根的分布，屬基礎題．