Question

已知點、為雙曲線：的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程是.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；
（3）過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點，中點為，求證:.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）作出解題所需圖形，對照圖形和雙曲線的定義不難解決此問題；（2）按照數量積的定義即需求模和夾角，這都可以通過解析幾何的工具性知識在形式上得到表示，然后通過設而不求和整體思想得以解決；（3）通過分析可將等式的證明轉化為垂直關系的判定，仍然運用設而不求和整體思想來解決，注意要對直線的斜率是否存在分情況討論，這樣解題才嚴謹.
試題解析：（1）設、的坐標分別為、
因為點在雙曲線上，所以，即，所以 
在中，，，所以            2分
由雙曲線的定義可知：
故雙曲線的方程為：                                       4分
（2）由條件可知：兩條漸近線分別為，          5分
設雙曲線上的點，設的傾斜角為，則
則點到兩條漸近線的距離分別為，      7分
因為在雙曲線上，所以
又，從而
所以       10分
（3）由題意，即證：.
設，切線的方程為：，且       11分
①當時，將切線的方程代入雙曲線中，化簡得：

所以：
又     13分
所以     15分
②當時，易知上述結論也成立． 所以   &n