Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．   
（1）求證：AP∥平面MBD；
（2）若AD⊥PB，PD=CD，求直線MB和平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OM，證明AP∥OM，然后證明AP∥平面MBD．
（2）設(shè)H是CD的中點(diǎn)，連結(jié)MH，證明MH⊥平面ABCD，連結(jié)BH，說(shuō)明∠MBH是直線MB和平面ABCD所成的角，然后求解∠MBH=45°，得到直線MB和平面ABCD所成角的大�。�

解答 證明：（1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OM，
因?yàn)镺，M分別是線段AC，PC的中點(diǎn)，
所以O(shè)M是△PAC的中位線，所以AP∥OM，
又AP?面MBD，OM?面MBD，
所以AP∥平面MBD．（5分）

解：（2）設(shè)H是CD的中點(diǎn)，連結(jié)MH，
因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以MH是△PCD的中位線，
PD∥MH，
因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ABCD，
連結(jié)BH，則BH是MB在平面ABCD內(nèi)的射影，
所以∠MBH是直線MB和平面ABCD所成的角，
因?yàn)锳D⊥PB，BD是PB在平面ABCD內(nèi)的射影，
所以AD⊥BD，又BC∥AD，所以BC⊥BD，
所以BH=$\frac{1}{2}$CD，又MH=$\frac{1}{2}$PD，
由已知PD=CD，所以BH=MH．
所以∠MBH=45°，
即直線MB和平面ABCD所成角的大小為45°．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面市場(chǎng)價(jià)的大小的求法，直線與平面平行的判斷，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．