Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)．
（1）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，求證：數(shù)列{

n	a1a2…an

}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{lga_na_n+1}是等差數(shù)列，試判斷{a_n}是否一定為等比數(shù)列？若一定是，請給出證明；若不一定是，請給出一反例．
（3）若數(shù)列{lg（a_na_n+1a_n+2）}和數(shù)列{lg（a_na_n+1a_n+2a_n+3）}均為等差數(shù)列，試判斷數(shù)列{a_n} 是否為等比數(shù)列？請證明你的結(jié)論．
本題可進(jìn)一步探索：
若數(shù)列{lg（a_na_n+1…an+p-1）}和數(shù)列{lg（a_na_n+1…a_n+g-1）}均為等差數(shù)列，其p，q≥2且互質(zhì)，試判斷數(shù)列{a_n} 是否為等比數(shù)列？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用,進(jìn)行簡單的合情推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè){a_n}公比為q，則an=a1qn-1，從而

n	a1a2…an

=a1q

n-1

2

，由此能證明數(shù)列{

n	a1a2…an

}是公比為

q

的等比數(shù)列．
（2）設(shè)lga_n+1a_n+2-lga_na_n+1=d，則

an+2

an

=10^d為一常數(shù)．{a_n}不一定為等比數(shù)列．可以舉出反例．
（3）數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．由條件得

an+1

an

=q13為一常數(shù)，

an+4

an

=q24為一常數(shù)，由已知條件能推導(dǎo)出q₁=q₂=t．且

an+1

an

=t為一常數(shù)，由此能證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

解答： （1）證明：設(shè){a_n}公比為q，則an=a1qn-1，
則

n	a1a2…an

=a1q

n-1

2

，
∴

n a1a2…an

n-1 a1a2…an-1

=

a1q n-1 2

a1q n-2 2

=

q

，
∴數(shù)列{

n	a1a2…an

}是公比為

q

的等比數(shù)列．
（2）解：設(shè)lga_n+1a_n+2-lga_na_n+1=d，
則

an+2

an

=10^d為一常數(shù)．{a_n}不一定為等比數(shù)列．
如：1，1，2，2，4，4，…，2ⁿ，2ⁿ．
（3）解：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
證明：由條件得

an+1

an

=q13為一常數(shù)，

an+4

an

=q24為一常數(shù)．（q₁，q₂＞0）
故a13=a1(q13)4=a1q112，a12=a1(q2)3=a1q212，所以q₁=q₂=t．
?n∈N^*，由條件an+4=anq24=ant4，an+4=an+1q13=an+1t3，
故

an+1

an

=t為一常數(shù)，所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明與判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．