Question

【題目】已知函數f(x)＝(2x－4)ex＋a(x＋2)2(x>0，a∈R，e是自然對數的底數)．

(1)若f(x)是(0，＋∞)上的單調遞增函數，求實數a的取值范圍；

(2)當a∈時，證明：函數f(x)有最小值，并求函數f(x)的最小值的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）(－2e，－2)．

【解析】試題分析：（1）由題意得當x>0時，函數f′(x)≥0恒成立，再分離變量法轉化為對應函數最值，根據導數求對應函數單調性，進而確定最值，得實數a的取值范圍；（2）先研究導函數單調性，再根據零點存在定理得導函數有唯一一個零點，即為函數極小值點，也是最小值點，最后利用導數研究最小值函數單調性，即得最小值取值范圍

試題解析：(1)f′(x)＝2ex＋(2x－4)ex＋2a(x＋2)＝(2x－2)ex＋2a(x＋2)，依題意，當x>0時，函數f′(x)≥0恒成立，即a≥－恒成立，記g(x)＝－，則g′(x)＝－

＝－<0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞減，所以g(x)<g(0)＝，所以a≥.

故a的取值范圍為.

(2)因為[f′(x)]′＝2xex＋2a>0，所以y＝f′(x)是(0，＋∞)上的增函數，又f′(0)＝4a－2<0，f′(1)＝6a>0，所以存在t∈(0,1)使得f′(t)＝0，

又當x∈(0，t)時，f′(x)<0，當x∈(t，＋∞)時，f′(x)>0，

所以當x＝t時，f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et＋a(t＋2)2.且有f′(t)＝0a＝－，

則f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et－(t－1)(t＋2)et＝et(－t2＋t－2)，t∈(0,1)．

記h(t)＝et(－t2＋t－2)，則h′(t)＝et(－t2＋t－2)＋et(－2t＋1)＝et(－t2－t－1)<0，

所以h(1)<h(t)<h(0)，

即f(x)的最小值的取值范圍是(－2e，－2)．