已知函數(shù)f（x）=（1+cotx）sin2x-2sin（x+
π
4
）sin（x-
π
4
）．
（1）若tanα=2，求f（α）；
（2）若x∈[
π
12
，
π
2
]，求f（x）的取值范圍．
分析：（1）利用正切化為正弦、余弦，利用兩角和與差的三角函數(shù)展開，二倍角公式的應(yīng)用化為
1
2
(sin2x+cos2x)+
1
2
，通過tanα=2，求出sin2α，cos2α，然后求出f（α）；
（2）化簡函數(shù)為：f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
，由x∈[
π
12
，
π
12
]，求出2x+
π
4
的范圍，然后求f（x）的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=（1+cotx）sin2x-2sin（x+
π
4
）sin（x-
π
4
）=sin2x+sinxcosx+cos2x
=
1-cos2x
2
+
1
2
sin2x+cos2x=
1
2
(sin2x+cos2x)+
1
2

∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα=
2sinα•cosα
sin 2α+cos 2α
=
2tanα
1+tan 2α
=
4
5
，
cos2α=cos 2α-sin 2α=
cos 2α-sin 2α
cos  2α+sin 2α
=
1-tan 2α
1+tan 2α
=-
3
5


=
1
2
(sin2x+cos2x)+
1
2

由tanα=2得sin2α=
2sinαcosα
sin2α+cos2α 
=
2tanα
1+tan2α
=
4
5
，
cos2α=
cos2α-sin2a
sin2α +cos2a
=
1-tan2α
1+tan2α
=-
3
5
，
所以f(α)=
3
5
．
（2）由（1）得f(x)=
1
2
(sin2x+cos2x)+
1
2
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2

由x∈[
π
12
，
π
2
]得2x+
π
4
∈[
5π
12
，
5π
4
]，所以sin(2x+
π
4
)∈[-
2
2
，1]
從而f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
∈[0，
1+
2
2
]．
點評：三角函數(shù)的化簡，包括降冪擴角公式、輔助角公式都是高考考查的重點內(nèi)容，另外對于三角函數(shù)的化簡到最簡形式一定要求掌握．熟練利用正余弦函數(shù)的圖象求形如y=Asin（ωx+φ）性質(zhì)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案