Question

18．如圖，是一個幾何體的三視圖，其中正視圖與側視圖完全相同，均為等邊三角形與矩形的組合，俯視圖為圓，若已知該幾何體的表面積為16π，則x=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由三視圖可知此幾何體是組合體：上面是圓錐、下面是圓柱，由條件和直角三角形的三角函數(shù)求出半徑、圓錐母線長，利用圓柱、圓錐的表面積公式列出方程求出x的值．

解答 解：由三視圖可知此幾何體是組合體：上面是圓錐、下面是圓柱，
∵正視圖與側視圖完全相同，均為等邊三角形與矩形的組合，
∴圓錐的高是x，則半徑為$\frac{x}{tan60°}$=$\frac{x}{\sqrt{3}}$，母線長是$\frac{x}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}x}{3}$，
則圓柱的底面半徑是$\frac{x}{\sqrt{3}}$，高是1，
∵該幾何體的表面積為16π，
∴$π×（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+2π×\frac{x}{\sqrt{3}}×1+π×\frac{x}{\sqrt{3}}×$ $\frac{2\sqrt{3}x}{3}$=16π，
化簡得，$\sqrt{3}{x}^{2}+2x-16\sqrt{3}=0$，
解得x=$2\sqrt{3}$或x=$-\frac{4}{\sqrt{3}}$（舍去），
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間想象能力，計算能力．