【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）用表示，中的較大者，記函數(shù)．若函數(shù)在內(nèi)恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)垂直關(guān)系，利用求得；（Ⅱ）求導(dǎo)后，分別在和兩個范圍內(nèi)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）首先確定在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，由于，根據(jù)定義可知此時無零點；當(dāng)時，則為零點，反之則不是零點，由此可得兩種情況下的范圍；當(dāng)時，結(jié)合單調(diào)性和零點存在定理可判斷出時，有一個零點.此時綜合為零點時的范圍，即可得到所求結(jié)果.

（Ⅰ）

由題意得：，解得：

（Ⅱ）由（1）知，

①當(dāng)時，

函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增

②當(dāng)時，令，解得：或

當(dāng)或時，，則單調(diào)遞增

當(dāng)時，，則單調(diào)遞減

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為

（Ⅲ）函數(shù)的定義域為，

在內(nèi)單調(diào)遞減

⑴當(dāng)時，

依題意，，則函數(shù)無零點；

⑵當(dāng)時，，

①若，即，則是函數(shù)的一個零點；

②若，即，則不是函數(shù)的零點；

⑶當(dāng)時，，只需考慮函數(shù)在內(nèi)零點的情況

①當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增

又

（i）當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)無零點；

（ii）當(dāng)時，

又

此時函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點；

②當(dāng)時，由（Ⅱ）知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增

，

此時函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點

綜合⑴⑵⑶可知，當(dāng)時，在內(nèi)恰有個零點

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