Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），其中0≤θ≤π，橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），其中0≤φ＜2π，直線l與y軸的正半軸交于點(diǎn)M，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限．
（1）寫出橢圓C的普通方程及點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)t_M（用θ表示）；
（2）設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)F₁，若|F₁B|=|AM|，求直線l的傾斜角θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系消參數(shù)即可得出橢圓C的普通方程，令-$\sqrt{2}$+tcosθ=0，即可得出t_M；
（2）把直線參數(shù)方程代入橢圓方程，設(shè)點(diǎn)A、B對應(yīng)的參數(shù)為t_A、t_B，由|F₁B|=|AM|結(jié)合參數(shù)t的幾何意義得：t_A+t_B=t_M，求解即可．

解答 解：（1）橢圓C的普通方程是：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
令-$\sqrt{2}$+tcosθ=0，得t=$\frac{\sqrt{2}}{cosθ}$，∴點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)t_M=$\frac{\sqrt{2}}{cosθ}$．
（2）橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{2}$，0）．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，得（3sin²θ+cos²θ）t²-2$\sqrt{2}$cosθ•t-1=0，
設(shè)A，B對于的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\frac{2\sqrt{2}cosθ}{3si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$，
∵|F₁B|=|AM|，∴t₁+t₂=|F₁M|=t_M，
即$\frac{2\sqrt{2}cosθ}{3si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{2}}{cosθ}$，解得sinθ=$\frac{1}{2}$，
∵M(jìn)位于y軸的正半軸，∴θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，參數(shù)方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．