Question

19．已知a∈R，直線l₁：（2a+1）x+2y-a+2=0與直線l₂：2x-3ay-3a-5=0垂直．
（1）求a的值；
（2）求以l₁，l₂的交點為圓心，且與直線3x-4y+9=0相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）利用兩條直線斜率的積為-1，建立方程，即可求a的值；
（2）聯(lián)立l₁，l₂的方程，得到交點為圓心，求出圓心與直線3x-4y+9=0的距離，可得半徑，即可求出圓的方程．

解答 解：（1）直線l₁的斜率為k₁=$-\frac{2a+1}{2}$，…（1分）
當a=0時，直線l₂與x軸垂直，顯然不與直線l₁垂直，
∴a≠0，∴直線l₂的斜率為k₂=$\frac{2}{3a}$…（3分）
∵l₁⊥l₂，∴k₁×k₂=-1…（4分）
即$-\frac{2a+1}{2}$×$\frac{2}{3a}$=-1，解得a=1…（6分）
（2）由（1）知，l₁：3x+2y+1=0，l₂：2x-3y-8=0
以上二方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}3x+2y+1=0\\ 2x-3y-8=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$，即圓心坐標為（1，-2）…（8分）
圓心到直線3x-4y+9=0的距離為$\frac{{|3×1-4×（{-2}）+9|}}{{\sqrt{{3^2}+{{（{-4}）}^2}}}}=4$…（10分）
∴圓的半徑為4    …（11分）
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=4²…（12分）

點評 本題考查直線與直線的位置關系，考查圓的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．