Question

我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．如圖，“盾圓C”是由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與拋物線y²=4x中兩段曲線弧合成，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)₂（1，0）．A為橢圓與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，|AF₂|=

5

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F₂作一條與x軸不垂直的直線，與“盾圓C”依次交于M、N、G、H四點(diǎn)，P和P′分別為NG、MH的中點(diǎn)，求

|MH|

|NG|

•

|PF2|

|P′F2|

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由y²=4x的準(zhǔn)線為x=-1，得A(

3

2

，

6

)，2a=|AF1|+|AF2|=

7

2

+

5

2

=6，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)過F₂的直線為x=my+1（m≠0），聯(lián)立

x=my+1 x2 9 + y2 8 =1

，得（8m²+9）y²+16my-64=0，聯(lián)立

x=my+1 y2=4x

，得y²-4my-4=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出

|MH|

|NG|

•

|PF2|

|P′F2|

的值．

解答： 解：（Ⅰ）由y²=4x的準(zhǔn)線為x=-1，
∴|AF2|=xA+1=

5

2

，故記A(

3

2

，

6

)…（3分）
又F₁（-1，0），
所以2a=|AF1|+|AF2|=

7

2

+

5

2

=6，
故橢圓為

x2

9

+

y2

8

=1．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)過F₂的直線為x=my+1（m≠0），
M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N）、G（x_G，y_G）、H（x_H，y_H）
聯(lián)立

x=my+1 x2 9 + y2 8 =1

，得（8m²+9）y²+16my-64=0，
則

yM+yH= -16m 8m2+9 yMyH= -64 8m2+9

聯(lián)立

x=my+1 y2=4x

，得y²-4my-4=0，
則

yN+yG=4m yNyG=-4

…（9分）
由M、N、G、H、P、P'共線，
所以

|MH|

|NG|

•

|PF2|

|P′F2|

=

|yM-yH|

|yN-yG|

•

| yN+yG 2 |

| yM+yH 2 |

代入韋達(dá)定理整理得，

|MH|

|NG|

•

|PF2|

|P′F2|

=

(16m)2+4×64(8m2+9) 8m2+9

16m2+16

•

|4m|

| 16m 8m2+9 |

=3．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段比值的乘積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．