Question

19．將函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位后得到g（x）的圖象，已知g（x）的部分圖象如圖所示，該圖象與y軸相交于點F（0，1），與x軸相交于點P，Q，點M為最高點，且△MPQ的面積為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，g（A）=1，且a=$\sqrt{5}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知g（x）=2sin[ω（x-$\frac{π}{4}$）+φ]，根據(jù)三角形的面積公式，即可求出T，再根據(jù)于g（0）=1，求出φ，問題得以解決，
（Ⅱ）先根據(jù)g（A）=1，求出A，再根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知g（x）=2sin[ω（x-$\frac{π}{4}$）+φ]，
由于S_△ABC=$\frac{1}{2}$•2•|PQ|=$\frac{π}{2}$，則|PQ|=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，即ω=2，
又由于g（0）=2sin（φ-$\frac{π}{2}$）=1，且-$\frac{π}{2}$＜φ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
則φ-$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{6}$，
∴φ=$\frac{2π}{3}$，
即g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{2π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）g（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$）則2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得b²+c²-2bccos A=a²=5，
∴5=b²+c²-bc≥bc，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A≤$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，當且僅當b=c=$\sqrt{5}$時，等號成立，
故S_△ABC的最大值為$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了三角形函數(shù)的解析式的求法和余弦定理和三角形的面積公式，屬于中檔題．