分析 本題屬于三角函數(shù)求值域類型.利用換元法設(shè)t=sinx+cosx,且求出t的范圍,再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)得出y=$\frac{1}{2}(t+\frac{1}{t})$ 在1<t≤$\sqrt{2}$上為增函數(shù).
解答 解:由題意知,x是三角形內(nèi)的一個最小內(nèi)角,∴0<x≤60°
令 t=sinx+cosx,等式兩邊平方得:sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$
∵t=sinx+cosx (0<x≤60°)
=$\sqrt{2}$sin(x+45°)
∴1<t≤$\sqrt{2}$
∴y=$\frac{\frac{1}{2}({t}^{2}-1)+1}{t}$
=$\frac{{t}^{2}+1}{2t}$
=$\frac{1}{2}(t+\frac{1}{t})$
∵$t+\frac{1}{t}$在 1<t≤$\sqrt{2}$上是增函數(shù)
∴y=$\frac{1}{2}(t+\frac{1}{t})$ 的取值范圍為 (1,$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]
故答案為:(1,$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]
點評 綜合利用換元、三角函數(shù)化簡求函數(shù)最值屬于?碱}型,考生應(yīng)該熟練掌握.
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A. | (0,2] | B. | (-∞,2] | C. | (-∞,1] | D. | (1,2) |
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A. | y=x2 | B. | y=x3 | C. | y=-$\frac{1}{x}$ | D. | y=x-1 |
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A. | 92016 | B. | 272016 | C. | 92017 | D. | 272017 |
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