Question

15．定義sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{-1（x＜0）}\end{array}$已知函數(shù)f（x）=a^x+$\frac{sgn（x）}{{a}^{|x|}}$（a＞0且a≠1）．
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）若f（1）=$\frac{5}{2}$，且不等式f（2t）+mf（t）+4≥0對于任意正實數(shù)t恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＞0時，$f（x）={a^x}+\frac{1}{a^x}≤2$；當(dāng)x＜0時，f（x）=a^x-a^x=0≤2恒成立；當(dāng)x=0時，f（x）=1≤2成立．由此能求出不等式f（x）≤2的解集；
（2）由f（1）=a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$，得$a=2或\frac{1}{2}$，從而${2^{2t}}+\frac{1}{{{2^{2t}}}}+m（{2^t}+\frac{1}{2^t}）+4≥0$，令$u={2^t}+\frac{1}{2^t}（t＞0）$，得$m≥-（u+\frac{2}{u}）在u∈（2，+∞）$上恒成立，由此能示出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵定義sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{-1（x＜0）}\end{array}$，函數(shù)f（x）=a^x+$\frac{sgn（x）}{{a}^{|x|}}$（a＞0且a≠1）．
∴當(dāng)x＞0時，$f（x）={a^x}+\frac{1}{a^x}≤2$，∴a^x=1，∴x=0舍去；
當(dāng)x＜0時，f（x）=a^x-a^x=0≤2恒成立；
當(dāng)x=0時，f（x）=1≤2成立；
綜上：不等式f（x）≤2的解集為（-∞，0]．
（2）∵$f（1）=\frac{5}{2}$，∴f（1）=a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$，
解得$a=2或\frac{1}{2}$，
∵f（2t）+mf（t）+4≥0恒成立，∴${2^{2t}}+\frac{1}{{{2^{2t}}}}+m（{2^t}+\frac{1}{2^t}）+4≥0$，
令$u={2^t}+\frac{1}{2^t}（t＞0）$，∴u∈（2，+∞），
∴u²+mu+2≥0恒成立，∴$m≥-（u+\frac{2}{u}）在u∈（2，+∞）$上恒成立，
又$-（u+\frac{2}{u}）在（2，+∞）$上單調(diào)遞減，∴$-（u+\frac{2}{u}）＜-3$，
解得m≥-3．
∴實數(shù)m的取值范圍是[-3，+∞）．

點評 本題考查不等式的解集的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想、換元法的合理運用．