Question

14．已知向量$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OP}$=t$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OQ}$=（1-t）$\overrightarrow{OB}$，|$\overrightarrow{PQ}$|在t₀時取最小值，當0＜t₀＜$\frac{1}{4}$時，cosθ的取值范圍為（　�。�

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）
• B． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，1）
• D． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 由向量的運算求得${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1，由二次函數(shù)知，當上式取最小值時，t₀=$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$，根據(jù)0＜$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$＜$\frac{1}{4}$，能求出cosθ的取值范圍．

解答 解：由題意得：
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2×1×cosθ=2cosθ，
$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$=（1-t）$\overrightarrow{OB}$-t$\overrightarrow{OA}$，
∴${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=（1-t）²•${\overrightarrow{OB}}^{2}$+${t}^{2}•{\overrightarrow{OA}}^{2}$-2t（1-t）•$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=（1-t）²+4t²-4t（1-t）cosθ=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1，
由二次函數(shù)知，當上式取最小值時，${t}_{0}=\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$，
∵0＜t₀＜$\frac{1}{4}$，∴0＜$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$＜$\frac{1}{4}$，
解得-$\frac{1}{2}$＜cosθ＜$\frac{1}{4}$．
∴cosθ的取值范圍為（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$）．
故選：D．

點評 本題考查向量數(shù)量積與向量的夾角，考查二次函數(shù)、三角函數(shù)、向量、分式不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、運動與方程思想，考查應用意識、創(chuàng)新意識，是中檔題．