Question

20．如圖，△ABC中，sin$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，AB=2，點D為線段AC上一點，過D作DE垂直于AB與E，作DF垂直于BC與F．
（1）若AD=2DC，則BD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，求BC的長．
（2）在（1）的結(jié)論下，若點D為線段AC上運動，求△DEF面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式求得cos∠ABC，根據(jù)余弦定理求得9b²=a²+4-$\frac{4a}{3}$，△ABD和△DBC中，cos∠ADB和cos∠DBC，由cos∠ADB=-cos∠BDC，即可求得3b²-a²=-6，即可求得BC的長；
（2）設(shè)DE=d₁，DF=d₂，求得△ABC的面積，即可求得${d_1}•{d_2}≤\frac{4}{3}$，由三角形△DEF，S=$\frac{1}{2}{d_1}•{d_2}•\frac{{2\sqrt{2}}}{3}≤\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$，即可求得△DEF面積的最大值．

解答 解：（1）因為sin$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由二倍角公式可知：
所以cos∠ABC=1-2×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$．
△ABC中，設(shè)BC=a，AC=3b，
則由余弦定理可得：9b²=a²+4-$\frac{4a}{3}$①
在△ABD和△DBC中，
由余弦定理可得cos∠ADB=$\frac{4^{2}+\frac{16}{3}-4}{\frac{16\sqrt{3}}{3}b}$，cos∠DBC=$\frac{^{2}+\frac{16}{3}-{a}^{2}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}b}$．
因為cos∠ADB=-cos∠BDC，
所以有$\frac{4^{2}+\frac{16}{3}-4}{\frac{16\sqrt{3}}{3}b}$=-$\frac{^{2}+\frac{16}{3}-{a}^{2}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}b}$．，
所以3b²-a²=-6，②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3．
（2）令DE=d₁，DF=d₂，
則△ABC的面積為$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$=${d_1}+\frac{3}{2}{d_2}≥2\sqrt{\frac{3}{2}{d_1}•{d_2}}$，
從而可得${d_1}•{d_2}≤\frac{4}{3}$，
而△DEF的面積為$\frac{1}{2}{d_1}•{d_2}•\frac{{2\sqrt{2}}}{3}≤\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$（當且僅當${d_1}=\frac{3}{2}{d_2}$時取等）．
△DEF面積的最大值$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題考查余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角形面積公式，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．