Question

如圖，過半徑為R的球面上一點P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，

(1)求證：PA²＋PB²＋PC²為定值；

(2)求三棱錐P－ABC的體積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)設過PA、PB的平面截球得⊙O₁，∵PA⊥PB，

　　∴AB是⊙O₁的直徑，連PO₁并延長交⊙O₁于D，則PADB是矩形，PD²＝PA²＋PB²．

　　設O為球心，則OO₁⊥平面⊙O₁，

　　∵PC⊥⊙O₁平面，

　　∴OO₁∥PC，因此過PC、PD的平面經(jīng)過球心O，截球得大圓，又PC⊥PD．

　　∴CD是球的直徑．

　　故PA²＋PB²＋PC²＝PD²＋PC²＝CD²＝4R²定值．

　　(2)設PA、PB、PC的長分別為x、y、z，則三棱錐P－ABC的體積V＝xyz，

　　V²＝x²y²z²≤()³＝·＝R⁶．

　　∴V≤R³．

　　即V_最大＝R³．

　　評析：定值問題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R²可為(1)的證明指明方向．

　　球面上任一點對球的直徑所張的角等于90°，這應記作很重要的性質．

　　解析：先選其中兩條弦PA、PB，設其確定的平面截球得⊙O₁，AB是⊙O₁的直徑，連PO₁并延長交⊙O₁于D，PADB是矩形，PD²＝AB²＝PA²＋PB²，然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了．