Question

1．某種產(chǎn)品的產(chǎn)量以其質(zhì)量指標(biāo)值（單位：克）衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于17時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，現(xiàn)在為了解甲、乙兩廠產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取10件樣品，測(cè)量樣品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到如圖所示的莖葉圖．
（1）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩廠產(chǎn)品的優(yōu)等品率．
（2）從甲廠10件樣品中抽取2件，乙廠10件中抽取1件，將3件中優(yōu)等品的件數(shù)記為x，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）從甲廠的10件樣品中有放回地隨機(jī)抽取3件（每件抽取一件），也從乙廠的10件樣品中有放回地隨機(jī)抽取3件（每次抽取一件），求抽到的優(yōu)等品甲廠恰比乙廠多2件的概率．

Answer 1

分析 （1）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品率有5件，由此能求出甲、乙兩廠產(chǎn)品的優(yōu)等品率．
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（3）抽到的優(yōu)等品甲廠恰比乙廠多2件的概率，包括A、B兩個(gè)基本事件，其中事件A=“甲廠抽到2件優(yōu)等品，乙廠沒(méi)有抽到優(yōu)等品”，事件B=“甲廠抽到3件優(yōu)等品，乙廠抽到1件優(yōu)等品”，由此能求出抽到的優(yōu)等品甲廠恰比乙廠多2件的概率．

解答 解：（1）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，
∴甲廠產(chǎn)品的優(yōu)等品率為$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品率有5件，
∴乙廠產(chǎn)品的優(yōu)等品率為$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$．
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$+$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$•$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{13}{30}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{1}{6}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{1}{6}$

E（X）=$0×\frac{1}{15}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{13}{30}+3×\frac{1}{6}$=$\frac{17}{10}$．
（3）抽到的優(yōu)等品甲廠恰比乙廠多2件的概率，包括A、B兩個(gè)基本事件，
其中事件A=“甲廠抽到2件優(yōu)等品，乙廠沒(méi)有抽到優(yōu)等品”，
事件B=“甲廠抽到3件優(yōu)等品，乙廠抽到1件優(yōu)等品”，
P（A）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）$×${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{54}{1000}$，
P（B）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{5}）^{3}×{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{81}{1000}$，
∴抽到的優(yōu)等品甲廠恰比乙廠多2件的概率為：
p=P（A）+P（B）=$\frac{54}{1000}+\frac{81}{1000}$=$\frac{27}{200}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．