Question

11．已知點M（x，y）為平面區(qū)域D：$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{y-\frac{1}{x}≤0}\\{y≥a，（0＜a＜1）}\end{array}\right.$內(nèi)的一個動點，若z=$\frac{y+1}{x}$的最大值為3，則區(qū)域D的面積為（　�。�

• A． ln2+$\frac{5}{8}$
• B． ln2-$\frac{1}{2}$
• C． ln2+$\frac{1}{8}$
• D． ln2-$\frac{3}{8}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由題意求得a值，然后利用定積分求面積．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{y-\frac{1}{x}≤0}\\{y≥a，（0＜a＜1）}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

A（a，a），
z=$\frac{y+1}{x}$的最大值為P（0，-1）與A連線的斜率，等于${k}_{PA}=\frac{a+1}{a}=3$，則a=$\frac{1}{2}$．
∴區(qū)域D的面積為${∫}_{\frac{1}{2}}^{1}（x-\frac{1}{2}）dx{+∫}_{1}^{2}（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）dx$
=$（\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x）{|}_{\frac{1}{2}}^{1}+（lnx-\frac{1}{2}x）{|}_{1}^{2}$=$-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+ln2-1-ln1+\frac{1}{2}=ln2-$$\frac{3}{8}$．
故選：D．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用定積分求曲邊梯形的面積，是中檔題．