Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞c}）$的長軸長為 4，離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求橢圓 C的方程；
（2）過橢圓 C上的任意一點(diǎn) P，向圓O：x²+y²=r²（0＜r＜b）引兩條切線l₁，l₂，若l₁，l₂的斜率乘積恒為定值，求圓 O的面積．

Answer 1

分析 （1）由a=2，利用橢圓的離心率即可求得c的值，由a，b和c的關(guān)系，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)切線方程．利用點(diǎn)到直線的距離公式及直線的斜率公式，即可求得r的值，求得圓O的方程．

解答 解：（1）依題意得2a=4，則a=2，又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$c=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，{b^2}={a^2}-{c^2}=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$，
故橢圓 C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{3{y}_{0}^{2}}{4}=1$，y₀²=$\frac{4}{3}$-$\frac{{x}_{0}^{2}}{3}$，
設(shè)切線方程為y-y₀=k（x-x₀），kx-y+y₀-kx₀=0，
∴$\frac{{|{{y_0}-k{x_0}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=r$，兩邊平方得$（{{x_0}^2-{r^2}}）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+{y_0}^2-{r^2}=0$，
則${k_1}{k_2}=\frac{{{y_0}^2-{r^2}}}{{{x_0}^2-{r^2}}}=\frac{{-\frac{{{x_0}^2}}{3}+\frac{4}{3}-{r^2}}}{{{x_0}^2-{r^2}}}$，若l₁，l₂的斜率乘積恒為定值，
則$\frac{-\frac{1}{3}}{1}$=$\frac{\frac{4}{3}-{r}^{2}}{-{r}^{2}}$，解得r²=1，
∴圓O的面積為πr²=1，
圓O的面積1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，切線方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．