Question

17．已知f（x）=（x-4）³+x-1，{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=27，則f（a₅）的值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 3
• D． 5

Answer 1

分析 f（x）=（x-4）³+x-1，可得f（x）-3=（x-4）³+x-4，令x-4=t，可得函數(shù)g（t）=t³+t為奇函數(shù)且單調(diào)遞增．{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，可得a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅．由f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）
=27，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₉）=0，因此g（a₅）=0，即可得出．

解答 解：∵f（x）=（x-4）³+x-1，
∴f（x）-3=（x-4）³+x-4=g（x-4），
令x-4=t，可得函數(shù)g（t）=t³+t為奇函數(shù)且單調(diào)遞增．
{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅．
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=27，
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₉）=0，
∴g（a₅）=0，
則f（a₅）=g（a₅）+3=3．
故選：C．

點評 本題考查了等差數(shù)列通項公式及其性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．