2.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2,若拋物線上一點P滿足$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FM},|\overrightarrow{PF}$|=3,則點M的坐標為(  )
A.($\frac{1}{2}$,2$\sqrt{2}$)或($\frac{1}{2}$,-2$\sqrt{2}$)B.($\frac{1}{2}$,$\sqrt{2}$)或($\frac{1}{2}$,-$\sqrt{2}$)C.(2$\sqrt{2}$,$\frac{1}{2}$)或(2$\sqrt{2}$,-$\frac{1}{2}$)D.($\sqrt{2}$,$\frac{1}{2}$)或($\sqrt{2}$,-$\frac{1}{2}$)

分析 由題意可得:p=2,可得拋物線方程為y2=4x,焦點F(1,0).設(shè)P(x0,y0),由$|\overrightarrow{PF}|$=3,可得x0+1=3,解得x0,可得點P的坐標,利用$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FM}$,即可得出.

解答 解:由題意可得:p=2,
∴拋物線方程為y2=4x,焦點F(1,0).
設(shè)P(x0,y0),
∵$|\overrightarrow{PF}|$=3,
∴x0+1=3,解得x0=2,
∴${y}_{0}^{2}$=4×2,解得y0=$±2\sqrt{2}$,
∴P$(2,±2\sqrt{2})$.
∵$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FM}$,
∴$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OF}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP})$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{OF}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{OP}$=$(\frac{1}{2},±\sqrt{2})$.
∴M$(\frac{1}{2},±\sqrt{2})$.
故選:B.

點評 本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、向量的坐標運算性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
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