Question

2．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F到準線的距離為2，若拋物線上一點P滿足$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FM}，|\overrightarrow{PF}$|=3，則點M的坐標為（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$）或（$\frac{1}{2}$，-2$\sqrt{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）或（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）
• C． （2$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）或（2$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由題意可得：p=2，可得拋物線方程為y²=4x，焦點F（1，0）．設(shè)P（x₀，y₀），由$|\overrightarrow{PF}|$=3，可得x₀+1=3，解得x₀，可得點P的坐標，利用$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FM}$，即可得出．

解答 解：由題意可得：p=2，
∴拋物線方程為y²=4x，焦點F（1，0）．
設(shè)P（x₀，y₀），
∵$|\overrightarrow{PF}|$=3，
∴x₀+1=3，解得x₀=2，
∴${y}_{0}^{2}$=4×2，解得y₀=$±2\sqrt{2}$，
∴P$（2，±2\sqrt{2}）$．
∵$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FM}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OF}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}）$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{OF}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{OP}$=$（\frac{1}{2}，±\sqrt{2}）$．
∴M$（\frac{1}{2}，±\sqrt{2}）$．
故選：B．

點評 本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、向量的坐標運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．