分析 設∠BPQ=α,PQ=x,用x,α表示出AP,∠ARP,在△APR中,使用正弦定理得出x關于α的函數(shù),利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出x的最小值.
解答 解:∵PQ=QR=PR,∴△PQR是等邊三角形,
∴∠PQR=∠PRQ=∠RPQ=60°,
∵矩形ABCD中,AB=2$\sqrt{3}$,BC=2,
∴∠BAC=30°,∠BCA=60°,
設∠BPQ=α(0<α<90°),PQ=x,則PR=x,PB=xcosα,∠APR=120°-α,
∴∠ARP=30°+α,AP=2$\sqrt{3}$-xcosα.
在△APR中,由正弦定理得$\frac{PR}{sinA}=\frac{AP}{sin∠ARP}$,即$\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{2\sqrt{3}-xcosα}{\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα}$,
解得x=$\frac{2\sqrt{3}}{2cosα+\sqrt{3}sinα}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}sin(α+φ)}$.
∴當sin(α+φ)=1時,x取得最小值$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$.
故答案為:$\frac{2\sqrt{21}}{7}$.
點評 本題考查了正弦定理的應用,三角函數(shù)的恒等變換,屬于中檔題.
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A. | 11 | B. | 12 | C. | 13 | D. | 14 |
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A. | (2,-1) | B. | (-2,1) | C. | (-2,-1) | D. | (2,1) |
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A. | ($\frac{1}{2}$,2$\sqrt{2}$)或($\frac{1}{2}$,-2$\sqrt{2}$) | B. | ($\frac{1}{2}$,$\sqrt{2}$)或($\frac{1}{2}$,-$\sqrt{2}$) | C. | (2$\sqrt{2}$,$\frac{1}{2}$)或(2$\sqrt{2}$,-$\frac{1}{2}$) | D. | ($\sqrt{2}$,$\frac{1}{2}$)或($\sqrt{2}$,-$\frac{1}{2}$) |
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