Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，滿足2S_n=3ⁿ⁺¹-3且a₂=b₁．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，設(shè)T_n為{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1時(shí)，b₁=S₁；n＞1時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=，可得b_n=3ⁿ，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=2n-1；
（2）求得c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）2S_n=3ⁿ⁺¹-3，即為S_n=$\frac{1}{2}$（3ⁿ⁺¹-3），
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=3，
n＞1時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（3ⁿ⁺¹-3）-$\frac{1}{2}$（3ⁿ-3）=3ⁿ，
綜上可得b_n=3ⁿ，
由a₂=b₁=3，d=2，可得a₁=1，
a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，
T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
即有3T_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-2T_n=3+2（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．