Question

如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，

E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，。

（I）證明：平面PBE平面PAB；

（II）求二面角A—BE—P和的大小。

 

Answer 1

【答案】

（I）同解析（II）二面角的大小為

【解析】解：解法一（I）如圖所示, 連結(jié)由是菱形且知，

是等邊三角形. 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以

又所以

              又因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，

所以而因此 平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以

又所以是二面角的平面角．

在中, ．

故二面角的大小為

解法二：如圖所示,以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811381067187901/SYS201205181139025312299159_DA.files/image027.png">平面PAB的一個(gè)法向量是所以和共線.

從而平面PAB. 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811381067187901/SYS201205181139025312299159_DA.files/image011.png">平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）易知設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量,

則由得 所以

故可取而平面ABE的一個(gè)法向量是

于是,．

故二面角的大小為