【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)；

（2）若f(x)有兩個極值點證明.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對分成三種情況進行分類討論，判斷出的極值點個數(shù).

（2）由（1）知，結(jié)合韋達定理求得的關(guān)系式，由此化簡的表達式為，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得，由此證得成立.

（1）函數(shù)的定義域為

得，

（i）當(dāng)時；，

因為時，時，，

所以是函數(shù)的一個極小值點；

（ii）若時，

若，即時，，

在是減函數(shù)，無極值點.

若，即時，

有兩根，

不妨設(shè)

當(dāng)和時，，

當(dāng)時，，

是函數(shù)的兩個極值點，

綜上所述時，僅有一個極值點；

時，無極值點；時，有兩個極值點．

（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時，有極小值點和極大值點，且是方程的兩根，

，則

所以

設(shè)，則，又，即，

所以

所以是上的單調(diào)減函數(shù)，

有兩個極值點，則

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為常數(shù)且，為參數(shù)）.

（1）求和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若和相交于、兩點，以線段為一條邊作的內(nèi)接矩形，當(dāng)矩形的面積取最大值時，求的值.

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【題目】某手機軟件研發(fā)公司為改進產(chǎn)品，對軟件用戶每天在線的時間進行調(diào)查，隨機抽取40名男性與20名女性對其每天在線的時間進行了調(diào)查統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的條形圖，其中每天的在線時間4h以上（包括4h）的用戶被稱為“資深用戶”．

（1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判定是否有95%的把握認(rèn)為是否為“資深用戶”與性別有關(guān)；

“資深用戶”

非“資深用戶”

總計

男性

女性

總計

（2）用樣本估計總體，若從全體用戶中隨機抽取3人，設(shè)這3人中“資深用戶”的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

附：，其中n＝a+b+c+d．

P（K2≥k0）

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

k0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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【題目】總體由編號為01，02，...，39，40的40個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表（如表）第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（ ）

A.23B.21C.35D.32

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)；

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【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為，在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點按坐標(biāo)變換得到曲線，以原點為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若過點（極坐標(biāo)）且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，弦的中點為，求的值.

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圖1：A設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻率分布直方圖

表1：B設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值

頻數(shù)

2

18

48

14

16

2

（1）請估計A.B設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；

（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的定為一等品，每件利潤240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在或內(nèi)的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制，需要根據(jù)A，B兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤的期望值調(diào)整生產(chǎn)規(guī)模，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從經(jīng)濟效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模？

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