Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在一個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足當(dāng)時(shí)，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，的增函數(shù)區(qū)間為，無(wú)減函數(shù)區(qū)間；時(shí)，的增函數(shù)區(qū)間為，減函數(shù)區(qū)間為；時(shí)，的增函數(shù)區(qū)間為，減函數(shù)區(qū)間為；（2）存在， .

【解析】

（1）根據(jù)題意，分析函數(shù)定義域，求導(dǎo)，分類討論參數(shù)不同的取值范圍時(shí)函數(shù)單調(diào)性，即可求解；

（2）根據(jù)題意，，由（1）知的最大值為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，只須使即可.又因?yàn)?/span>，所以不等式等價(jià)于：，即：，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，討論的范圍，判斷不等式成立條件.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

①若在上為增函數(shù)；

②若，∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；

③若，∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)

綜上可知，時(shí)，的增函數(shù)區(qū)間為，無(wú)減函數(shù)區(qū)間；

時(shí)，的增函數(shù)區(qū)間為，減函數(shù)區(qū)間為；

時(shí)，的增函數(shù)區(qū)間為，減函數(shù)區(qū)間為；

（2）由（1）知，時(shí)，的最大值為，

若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，只須使即可.

又因?yàn)?/span>，所以不等式等價(jià)于：，

即：，

設(shè)，則，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，，不等式不成立，

當(dāng)時(shí)，，不等式不成立，

當(dāng)時(shí)，，不等式成立，

∴存在正實(shí)數(shù)且時(shí)，滿足當(dāng)時(shí)，恒成立.