Question

已知{a_n}為等差數列，公差d≠0，{a_n}的部分項恰為等比數列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，
（1）求k_n；
（2）求k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過數列中k₁=1，k₂=5，k₃=17時成等比數列，求出a₁與d的關系，然后求出數列的公比，然后利用的值求出k_n；
（2）利用（1）的結果，直接寫出k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n得到一個等差數列，和一個等差數列與一個等比數列對應項乘積的數列，通過錯位相減法求出和即可．
解答：解：（1）設等比數列的公比為q
∵k₁=1，k₂=5，k₃=17
∴a₁•a₁₇=a₅² 即 a₁（a₁+16d）=（a₁+4d）²，
 得 a₁d=2d²
∵d≠0∴a₁=2d，
∵
∴k_n=2×3^n-1-1，n∈N*
（2）k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n
=（2×3-1）+2×（2×3¹-1）+…+n×（2×3^n-1-1）
=2×（1×3+2×3¹+…+n×3^n-1）-（1+2+…+n）
設S_n=1×3+2×3¹+…+n×3^n-1，
則3S_n=1×3¹+2×3²+…+n×3ⁿ，
兩式相減得：
∴
∴k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n=
點評：本題是中檔題，考查等差數列與等比數列的綜合應用，數列的通項公式，前n項和的求法，注意錯位相減法的應用，考查計算能力，常考題型．