Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）寫出直線及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過點(diǎn)且平行于直線的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)的軌跡及其直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

【答案】（1）直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）點(diǎn)的軌跡是橢圓夾在平行直線之間的兩段�。�

【解析】

（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，直接寫出直線的普通方程，消去參數(shù)可得曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，以及平行于直線的直線參數(shù)方程，直線與曲線聯(lián)立方程組，通過，即可求點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程．通過兩個交點(diǎn)推出軌跡方程的范圍．

解：（1）直線的極坐標(biāo)方程為，

直線的傾斜角為，且經(jīng)過原點(diǎn)，

故直線的直角坐標(biāo)方程為，

曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），

曲線的直角坐標(biāo)方程為．

（2）設(shè)點(diǎn)，及過點(diǎn)的直線為，

由直線與曲線相交可得：，

，

，即：，

點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程，表示一橢圓．

取代入得：

由解得

故點(diǎn)的軌跡是橢圓夾在平行直線之間的兩段弧．