Question

【題目】某工廠打算設(shè)計(jì)一種容積為2m3的密閉容器用于貯藏原料,容器的形狀是如圖所示的直四棱柱,其底面是邊長為x米的正方形,假設(shè)該容器的底面及側(cè)壁的厚度均可忽略不計(jì).

（1）請你確定x的值,使得該容器的外表面積最小;

（2）若該容器全部由某種每平方米價(jià)格為100元的材料做成,且制作該容器僅需將購置的材料做成符合需要的矩形,這些矩形即是直四棱柱形容器的上下底面和側(cè)面(假設(shè)這一過程中產(chǎn)生的費(fèi)用和材料損耗可忽略不計(jì)),再將這些上下底面和側(cè)面的邊緣進(jìn)行焊接即可做成該容器,焊接費(fèi)用是每米500元,試確定x的值,使得生產(chǎn)每個(gè)該種容器的成本(即原料購置成本+焊接費(fèi)用)最低.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí),該容器的表面積最小.（2）當(dāng)時(shí),生產(chǎn)每個(gè)容器的成本最低.

【解析】

（1）設(shè)該容器高為h, 設(shè)該容器的外表面積為S,求出,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值得解；（2）設(shè)生產(chǎn)每個(gè)容器的成本為C(單位:元), 則,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值得解.

（1）設(shè)該容器高為h,據(jù)體積為2m3得x2h=2,即,

設(shè)該容器的外表面積為S,則,

則,

令S′＞0,解得,此時(shí)函數(shù)S(x)單調(diào)遞增,令S′＜0,解得,此時(shí)函數(shù)S(x)單調(diào)遞減,

∴當(dāng)時(shí),該容器的表面積最小;

（2）設(shè)生產(chǎn)每個(gè)容器的成本為C(單位:元),

則,

∴,

令C′＞0,解得,此時(shí)函數(shù)C(x)單調(diào)遞增,令C′＜0,解得,此時(shí)函數(shù)C(x)單調(diào)遞減,

∴當(dāng)時(shí),生產(chǎn)每個(gè)容器的成本最低;