Question

如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)P的距離是2km，從點(diǎn)P沿海岸正東12km處有一個(gè)城鎮(zhèn)．假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為3km/h，步行的速度是5km/h，用t（單位：h）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處距P點(diǎn)的距離．

（1）請(qǐng)將t表示為x的函數(shù)t（x）；
（2）將船停在海岸處距點(diǎn)P多遠(yuǎn)時(shí)從小島到城鎮(zhèn)所花時(shí)間最短？最短時(shí)間是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)總的時(shí)間t為駕船行駛的時(shí)間與步行到城鎮(zhèn)的時(shí)間之和，分別表示出從小島到Q點(diǎn)的時(shí)間為

x2+4

3

，
從Q點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間為

12-x

5

，即可求得函數(shù)t（x），根據(jù)實(shí)際意義，求得定義域，從而得到答案；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）總的時(shí)間t為駕船行駛的時(shí)間與步行到城鎮(zhèn)的時(shí)間之和，
小島到Q點(diǎn)的距離：

x2+4

，
∴從小島到Q點(diǎn)的時(shí)間為：

x2+4

3

，
Q點(diǎn)到城鎮(zhèn)的距離：12-x，
∴從Q點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間為：

12-x

5

，
∴t（x）=

x2+4

3

+

12-x

5

，0≤x≤12；
（2）t′=

5x-3 x2+4

15 x2+4

，
令t′=0得x=1.5，
當(dāng)x∈（0，1.5）時(shí)，t′＜0，t（x）單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈（1.5，12）時(shí)，t′＞0，t（x）單調(diào)遞增．
故當(dāng)x=1.5時(shí)，t（x）最小，且最短時(shí)間為

44

15

h．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于基礎(chǔ)題．